Pilotage gravitationnel d'un satellite

Introduction

Starway.mid
Le mouvement des planètes dans l'espace est un problème qui a passionné tous les mathématiciens au siècle dernier. Le parachèvement de ce travail mathématique a été de remplacer les équations du mouvement des corps célestes exprimées en terme de force de Newton, par des équations trés difficiles à interpréter en amateur de la physique, mais qui sont tout à fait exactes. Ces nouvelles équations sont les équations de Lagrange .
Le problème de la trajectoire d'un satellite au voisinage d'une planète est assez différent du problème d'un satellite qui se déplace entre deux planètes.
Mais avec les performances actuelles des ordinateurs, la tendance est de retourner à une intégration numérique des forces de Newton et de laisser dans l'oubli la résolution des équations de Lagrange.

Voisinage d'une planète

* Dans le voisinage d'une planète le potentiel gravitationnel de cette planète ne peut plus être considéré uniquement comme une loi en 1/R. Globalement le mouvement reste celui des lois de Kepler à savoir une ellipse dont un des foyers est le centre de masse de la planète. Mais on doit prendre en considération des petites différences qui correspondent en premier à l'applatissement de la planète et à bien d'autres déformations. On résoud le problème trés général du champ gravitationnel d'une forme massive quelconque, lorsqu'on est à l'extérieur de cette masse. Celà donne une équation constituée d'un laplacien DU(r,q,y) = 0, à l'extérieur de la masse.
Pour résoudre cette équation on passe en coordonnéees polaires. Le résultat est constitué de deux séries. Une série contient des polynômes en cosq, c'est à dire qui ne dépend que de la latitude. Et une autre série qui dépend de la longitude. Ce ne sont que des petites perturbations. Mais il reste alors à trouver tous les coefficients de ces deux séries. Pour celà, il faut faire des expériences en envoyant des satellites et en mesurant de façon trés pécise leur comportement. Il faut recommencer ces mesures pour chaque planète, car la répartition des masses dans les planètes n'est pas du tout homogène. On peut aussi calculer ces séries de façon purement mathématique lorsqu'on donne à la masse centrale un forme bien déterminée et dont le potentiel est facile à calculer. En comparant le résultat des mesures avec celui des calculs on peut conclure par exemple que le coefficient J₂, correspond à l'effet de l'applatissement de la Terre.
Si ce sujet vous intéresse vous pouvez aller consulter un site qui est trés bien fait, il est inutile que je refasse le même. cours de m.Vigny
une fois que le potentiel newtonien de la planète est parfaitement déterminé, il vous reste à résoudre dp/dt = -grad U pour trouver la trajectoire de votre satellite.

Loin de la planète

* Pour un satellite qui s'éloigne suffisamment de la planète, le potentiel d'attraction devient à nouveau associable à un point, mais en échange ce sont les influences des autres planètes qui cessent d'être négligeables. On parle alors des sphères d'influences des planètes. Si un satellite est à l'intérieur de la sphère d'influence d' une planète, son mouvement est approximativement Klépérien par rapport à cette planète et l'influence des autres planètes est considérée comme une perturbation. Les sphères d'influences ne sont qu'approximativment des sphères et leur calcul est assez compliqué, car il faut tenir compte de la force centrifuge de la particule d'épreuve. Je développerai ce point là un peu plus loin en parlant des points de Lagrange, où les satellites sont exactement à l'équilibre entre deux sphères d'influences.
Pour pouvoir faire un développement limité de ces perturbations, et résoudre par itérations successives, on doit alors passer en coordonnées de Lagrange.

Les équations de Lagrange

Les équations de Lagrange sont obtenues en faisant un changement de variables astucieux qui consiste à remplacer les positions rectangulaires x, y et z ainsi que les les accélérations associées par des variables directement liées aux lois de Kepler, qui sont des intégrales premières du mouvement. On commence par définir à chaque instant une ellipse instantannée du mouvement, qui décrirait le mouvement autour de la planète principale d'influence si à ce moment là toutes les perturbations s'étaient soudainement évanouies.
Les variables qui interviennent dans les équations de Lagrange sont:

Le demi grand axe a de l'ellipse instantannée.
L'excentricité e de l'ellipse instantannée. Donc le produit e*a donne la distance du centre de l'ellipse à son foyer.
Maintenant il faut positionner cette ellipse par rapport à un plan de référence. On choisit dans le système solaire pour une planète ou un satellite dans la sphère d'influence du soleil, le plan qui contient l'orbite de la Terre par rapport au soleil, c'est l'écliptique. mais pour une Lune de Saturne, il faudra un autre plan de référence.
On appelle i l'inclinaison de l'orbite sur l'écliptique. Comme dans les équations de Lagrange ce n'est pas i qui apparaît mais sin(i/2), on définit la variable g=sin(i/2).
Lorsque i n'est pas nul les deux plans, celui de l'écliptique et celui de l'ellipse se coupent selon une droite qui passe par le foyer de l'ellipse, le soleil. Dans le plan de l'écliptique on repère cette droite par l'angle W qu'elle fait avec la direction de l'équinoxe. Cet angle W s'appelle la longitude du noeud ascendant de l'orbite de l'ecliptique. Maintenant il reste à déterminer dans le plan de l'ellipse qui est parfaitement défini, la direction du périhélie de cette ellipse.
Pour cela on définit la variable qui se pronnonce pi et qui se dessine par la lettre v qui est un v grecque. Cette variable est la longitude du périhélie comptée à partir de l'équinoxe jusqu'au noeud ascendant sur l'écliptique et à partir du noeud ascendant jusqu'au périhélie sur l'orbite. Comme on a déjà définit W, on remarque qu'on peut définir la variable w qui est l'argument du périhélie par w=v - W.
Maintenant que notre ellipse instantanée est parfaitement définie, il ne reste plus qu'à définir la position du satellite sur cette ellipse. On définit l'anomalie moyenne M par M=n(t-t) où :
- n désigne le moyen mouvement de la planète
- tdésigne le temps du passage au périhélie
- t est simplement le temps.
Le moyen mouvement du satellite ou de la planète est donné par la troisième loi de Kepler n²a³=k²(1+m). Avec k qui est la constante de Gauss, c'est à dire G/M, la constante de gravitation universellle divisée par M, la masse du soleil. Et où m est la masse réduite de la planète où du satellite. Dans le cas d'un satellite m est complètement négligeable. Mais on est pas encore au bout de nos peines.

Comme dans le cas où l'excentricité devient nulle l'angle v n'est plus défini, on remplace les variables e l'excentricité et v par les variables incompréhensive physiquement que sont k et h.

k = e*cos(v)
h = e*sin(v)

De même lorsque l'angle i est nul, c'est à dire lorsque le plan de la trajectoire du satellite est confondu avec le plan de l'écliptique, l'angle W n'est plus défini, on remplace donc i et W par :

p = g*sin(W)
q = g*cos(W)

Les intégrations numériques

Le JPL lui à abandonné l'idée de s'intéresser aux solutions analytiques des équations de lagrange. Ils ont fait un important travail qui consiste à lancer une intégration numérique de toutes les planètes du système solaire, qui prend en considération les principaux astéroides et la relativité générale. Puis comparant les résultats de cette colossale intégration numérique aux observations, ils ont put ainsi ajuster les conditions initiales du système pour que tous les calculs soient en accord avec les observations. C'est un travail qui doit être perpétuellement amélioré au fur et à mesure qu'on rajoute des observations.

Les substitutions numériques

A l'institut de mécanique céleste on solutionne les équations de Lagrange soit avec des séries de Poisson, soit avec des séries des courtes périodes et des longues périodes. Le résultat ne serait pas accessible sans ordinateur, car la solution contient des milliers de coefficients pour toutes les fréquences qui composent le mouvement des planètes. Mais l'avantage sur l'intégration numérique c'est qu'on dispose d'un outil qui est une solution et qui permet d'aller partout dans le temps en une seule fois.

Si ce genre de choses vous intéresse la moindre des choses est que vous alliez faire un tour à l'institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides qui s'appelait autrefois le bureau des longitudes et qui risque de changer encore de nom avec la restructuration de l'observatoire de Paris

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Création le 25 Décembre 2000.

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